場合の数
前ページに引き続き組み合わせについて学習します。
今８個のリンゴがある。これをＡさん・Ｂさん・Ｃさんの３人で分ける時、分け方は何通りか？（１つ１つのリンゴは区別しない）
いきなり問題の傾向が変わったように見えましたか？リンゴを何個ずつ分けるか、という組み合わせの問題ですがどうやってコンビネーションを使ったらいいか一見分からないかと思います。
そこで次のように考えましょう。
１：まず右図のようにリンゴ８個（以下”丸”とする）と
仕切り棒２個を用意します。
２：そしてこの丸と仕切り棒をぐちゃぐちゃに混ぜます。
３：仕切り棒によって区切られた３つの領域のうち
左から順にＡ・Ｂ・Ｃと割り振ります。
このように考えれば、?で混ぜた結果がどのような結果であったとしてもきちんとＡ・Ｂ・Ｃに割り振る事ができ、 漏れなく重複なく数えることができています。
参考までに下に丸と仕切り棒を置いて、割り振っている様子の幾つかを乗せておきます。
さて、ここで気になるのは?丸と仕切り棒を混ぜるという段階です。?の混ぜ方の全パターン数を求めれば、?のステップを踏むことにより全通りの分け方を考慮することができます。一体どれだけの混ぜ方があるのでしょうか？
ここで重要なのは、「混ぜる」と考えるのではなく「１０個の四角の中に入れる」と捉えなおすことです。
右図のように１０個の四角が並んでいる、という状況をイメージしてみて下さい。そしてこの１０個の四角のうち２つを選んで仕切り棒を入れ、のこりの８つに丸を入れる と考えれば、「混ぜる」という操作と同じことができます。
１０個の四角のうち２つを選んで仕切り棒を入れるという方法が何通りあるのか、というと… 10C2 通りとなります。
あとは計算すればよく
より45通りが答えです。
あるいは１０個の四角のうち８つを選んで丸を入れるという方法が何通りか、と考えても良いです。
このように考えれば… 10C8 通りとなります。これもあとは 計算すればよく
より45通りが答えです。
いずれの結果を見ても、答えは完全に一致していますね。１０個の四角のうち８つを選んで丸を入れると考えても １０個の四角のうち２つを選んで仕切り棒を入れると考えても、どちらでも結果は一致するのです。
この手のタイプの問題は非常に有名な問題でして、俗に”丸と仕切り棒の問題”などと呼ばれたりします。 複数存在する物を複数人に分けたりする状況でこの考え方は非常に有効です。他にもいくつか例をみてみます。
クラス代表としてＡさん・Ｂさん・Ｃさん・Ｄさんの４人の立候補者がいる。１０人の人がこの４人に１票ずつ入れるとき、票の分かれ方は何通りあるか？
１０票を４人に分ける、という話なのでこの問題も”丸と仕切り棒の問題”です。
票の数は１０票なので、１０個の丸を用意します。続いて仕切り棒ですが、今回は４人に分ける、ということなので仕切り棒は３つ必要です。
ここまで分かれば先程と同様に１３個の四角のうち３つを選んで仕切り棒を入れるという話になるので 13C3 通りとなります。これもあとは 計算すればよく
13C3 = (13・12・11)÷(3・2・1) = 286（通り）
今１１個のリンゴがある。これを４人で分ける時、分け方は何通りか？ただし全員少なくとも１つのリンゴはもらえるものとする。
最初の問題に似ていますが、条件が付け加わっています。全員少なくとも１つのリンゴはもらえるとなっていますが、どのように考えたらいいでしょうか？ いきなり丸と仕切り棒の話として考えると、リンゴをもらえない人がでてきます。
おそらく意外な解決策でしょうが、最初から１つずつ配っておけば良いのです。そして残りの１１?４＝７個 リンゴについて”丸と仕切り棒の問題”として考えれば良いのです。
今回は７個の丸と仕切り棒３つが必要です。
ここまで分かれば先程と同様に１０個の四角のうち３つを選んで仕切り棒を入れるという話になるので 10C3 通りとなります。これもあとは 計算すればよく
10C3 = (10・9・8)÷(3・2・1) = 120（通り）
さて”丸と仕切り棒の問題”も慣れてきましたでしょうか？あとは練習問題で慣れて行きましょう。
これにて組み合わせの”丸と仕切り棒の問題”を終了します。この問題は非常に有名な問題ですし、 応用範囲も大きいので、是非使いこなしましょう。