2次方程式
因数分解の話も終了して2次方程式中心の話になります。2次方程式を簡単に解くための手段として因数分解を今まで習ってきたわけですが、
因数分解できない2次方程式も多く存在します。
x2+2x-1=0 を解きなさい。
この式を因数分解しようとしてみても、2つの数を掛けて「-1」、足して「+2」になるような 値というのは見つかりません。
よって「解なし」・・・が答えかと言うと、そういうわけではありません。ここで登場するのが「平方完成」と呼ばれる技術です。なんのこっちゃ分からない・・・と 感じるかと思いますが、とりあえず次の説明を読んで下さい。
知っているという方は「解の公式」を自力で作ることができますでしょうか?これが出来ないのであればきちんと読んで下さい。
平方完成における第一ステップはx2・xの項をまとめて(x + …)2の形にすることです。
言いかえれば、
ax2+bx+c = 0 を
a(x + d)2+e = 0
という形に変形する、ということです。
どうやるの?という話ですが、先程の問題 x2+2x-1=0 の場合 x2+2x の部分に着目して、これを2乗の形にまとめましょう。
x2+2x を無理やり2乗の形にすると (x + 1)2-1 という形にまとめられます。
x2+2x = (x + 1)2-1
以上の話から 先程の問題 x2+2x-1 = 0 については
x2+2x-1 = 0
∴(x + 1)2-2 = 0
∴(x + 1)2 = 2
と変形できます。そしてこの式の両辺の平方根を取ることで
∴x + 1 = ±√2
となります。
さらに式を整理すれば
x2+2x-1 = 0
∴(x + 1)2-2 = 0
∴(x + 1)2 = 2
∴x + 1 = ±√2
∴x = - 1 ± √2 (- 1 + √2 または - 1 - √2)
となり答えが求められました。2次方程式の解は通常2つの解が出てきます。
今回の場合 - 1 + √2 と - 1 - √2が解というわけですね。
2x2-9x-1=0 を解きなさい。
先程と違い今度はx2の係数が1ではありません。
この時に重要なのは先程も言ったように平方完成では
ax2+bx+c = 0 を
a(x + d)2+e = 0
という形に変形する、ということです。
(ax + d)2+e = 0などとaの値を(・・・・)カッコの中に入れないように注意して下さい。
それでは 2x2 - 9x の部分に着目して2乗の形にまとめましょう。そこでまずは x2の係数2に着目して式全体をまとめます。すると
2x2 - 9x = 2(x2 - 9/2x)
と出来ます。ここから先は先程と同様です。xの係数が9/2と分数になっていますが、 気にせずに進めるだけです。
2x2 - 9x = 2(x2 - 9/2x)
= 2{(x - 9/4)2 - 81/16}
= 2(x - 9/4)2 - 81/8
後は前回と同様に式変形をしたら終わりです。先程の問題 2x2-9x-1 = 0 については
2x2-9x-1 = 0
∴2(x - 9/4)2 -81/8 -1 = 0
∴2(x - 9/4)2 = 89/8
∴(x - 9/4)2 = 89/16
と変形できます。そしてこの式の両辺の平方根を取ることで
∴x - 9/4 = ±√89 / √16
∴x - 9/4 = ±√89 / 4
∴x = 9/4 ± √89 / 4
が答えになります。
このように√等の記号が入って一見汚くも見えますが、どのような問題であってもこれで2次方程式の解を求める事が出来るのです。
さて、あとは例のごとく練習あるのみです。下に問題を用意しましたので、ガツガツ解いて実践力を養いましょう。
どうでしょうか?平方完成に慣れてきましたでしょうか?まず因数分解が出来るときはしてしまいましょう。その方が圧倒的に早いので。
最後の問題などは意地悪な問題ですが、2次方程式の解がないということはよくある話です。この機会に知っておきましょう。
しかし、今までに習ってきた因数分解に比べ手順などが色々面倒で計算量も無駄に多いなぁ…と感じた方もいるかと思います。その感覚は正しいです。 出来ることなら因数分解で解きたい!という意識を持っておくようにしましょう。