2次方程式
前ページでは各々の問題に対して平方完成を行うことで解く、ということを行ってきましたが今回はもっと一般的な2次方程式全体に対して考えることにします。
を解きなさい。
全て記号になりましたね。記号に慣れていない方はこういう式を見ると「う・・・」となるかもしれませんが、実はやることは今までと何も変わらないのです。
2次方程式を解く上では「因数分解」 か「平方完成」のいずれか、ですがどうみても因数分解は不可能な形ですよね?そこで平方完成を使って無理やり解いて見ることにしましょう。
最初にやることは2乗の形を作ることでしたね?そこでこの式を x2 の係数の a でまとめれば
と書くことが出来ます。
記号だらけで気持ちが悪いかも知れませんが、気にせずに進みましょう。分かりにくい人はここで一度具体的な数字(a=3,b=9,c=-1とか)を代入してみれば意識しやすいはずです。
ここから左辺が2乗の形だけ、すなわち(x +・・・)2となるように整理していきます。
そして全体の平方根を取るんでしたね?すると
最後に整理すれば
なんとa,b,cと記号だらけだというのに答えが求められてしまうのです!この値がこの式の解ということになります。
ここで出てきた答えは非常に重要な公式ですので、絶対に忘れないようにして下さい。また逆にこの公式だけを覚えて平方完成でこの公式を導く事が出来ない学生を多く見かけますが、 自分で証明することもできない公式を使うなんて恥ずかしいです。数学全般に言える話ですが。
それに恥ずかしいだけでなく、平方完成の知識は非常に重要ですのでこれが使えないというのはやはり問題です。基本をきちんと押さえましょう。一度このページをみることなく自力で証明してみて下さい。
x2+2x-1=0 を解きなさい。
さて、先程「解の公式」の証明をしましたが、これのメリットがいまいち分からない方もいるのではないでしょうか?使い方の練習をします。
この問題は前ページの問題とまったく同じ問題ですが、今回は解の公式を使って解きます。
何をするのか、というと「公式に代入するだけ」で解けます。
まず解の公式とは何だったかというと
の解が
になる、という話でした。
そして今回解くのは x2+2x-1=0 の式です。
分かりましたでしょうか??つまり解の公式でいうa,b,cが a = 1,b = 2,c = -1 に対応している、ということなんです。
よって に a = 1,b = 2,c = -1 を代入すれば
整理すると
これでハイ!おしまい!ということなんです。あっと言う間でしたね。
公式さえ覚えてしまえば楽勝です。最初のうちは公式を見ながらで良いので、バシバシ問題を解いてみましょう。下に問題を載せましたので下さい。
以上になります。実は殆どの問題が前ページの問題と一緒だったのですが、前ページよりも早く正確に解けたんじゃないか、思います。 解の公式はまだ覚えきれていないかもしれませんが、問題集などでガツガツ解いていきましょう。