平面幾何(斜交座標系)

 タイトルを見て不審に思った方もいることでしょう。「斜交座標・・・・・・・はぁっ？？」と。
斜交座標なんて聞いたことがない方も多いと思います。しかし、この斜交座標というのが平面幾何において大きな力を発揮することがあるのです。ここでは斜交座標を用いた平面幾何への取り組みをしてみたいと思います。
まずは具体的にどういった問題に対して力を発揮するのか問題例を見ます。

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　 右図で示された α:βの比 を求めなさい。



　さて、どうでしょうか？この問題なら難なく解ける、あるいは見たことがある、という方も結構いらっしゃるんじゃないでしょうか？
しかし、これをどのような方法で考えましたか？この問題の答えを求めるための手順は実は沢山あるのです。ここではそのうちの３つを紹介します。

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　　　　ベクトルを使って解く

　おそらくこの方法が最も多いと考えています。一般の参考書の解説に載っているものではベクトルを利用します。解き方としては次の方法になります。


　まずは右図のように , を取ります。
そしてこの , を用いて他のベクトルについても 考えてみることにします。






　すぐに分かるものとしては , をそれぞれ[１：２],[３：２]に分ける地点の評価が出来ます。
これは比を考えればすぐに分かり、右図のように 1/3 , 3/5 と取ることが出来ます。



　ここからの流れは割とお決まりとなっていますが、初めてみる方は覚えてしまっても良いかもしれません。
まず右図のような三角形に注目してみます。そしてさらに右図のように を用意し、 これを , を用いて表すことを考えます。
しかし、このままでは評価の仕様がないので の地点は 1/3 の地点と の地点とを 1 - s : s （ただし、0≦s≦1）に内分する点だと考えます。
そうすると内分点の性質から
    = s/3 ＋ (1 - s)
こうすることで、s　を用いて無理やり を評価することが出来ました。




　次に右図のような三角形に注目してみます。そして先程と同様、 を , を用いて表すことを考えます。
しかし、やはりこのままでは評価の仕様がないので の地点は の地点と 3/5 の地点とを 1 - t : t （ただし、0≦t≦1）に内分する点だと考えます。
よって先程と同様に、内分点の性質から
    = t ＋ 3(1 - t)/5
こうすることで、今度は t を用いて を評価することが出来ました。




　以上の話を踏まえると が２種類の方法で表現されていて、
    = t ＋ 3(1 - t)/5
    = s/3 ＋ (1 - s)
となっています。
ここで , がそれぞれ１次独立であることを踏まえると、
   t = s/3
   3(1 - t)/5 = (1 - s)
となる必要があります。
上の式を解くと
   s = 1/2
   t = 1/6
となります。


　さてこのように s, t を求める事が出来ましたが、このことから何が分かったのか押さえておりますでしょうか？
求めた s, t を代入しますと右図のようになります。
今求めたかったのは α：β であったのでこれは幾つなのか？というと
    α：β = 1/2 : 1/2 = 1 : 1

　以上によりベクトルを用いて求める事が出来ました。
基本的な流れとしましては

  １：ベクトルを用いて表記する
  ２：ある量を２通りの方法で表記することで、１次独立であることを利用して式を作る

という流れになっています。
次のページからこの問題について斜交座標を用いた解法で触れていきます。