場合の数
「場合の数」「確率」「期待値」といった分野は苦手意識も強い人が多いのではないでしょうか？
これらの分野の第一歩目となる「場合の数」が押さえられていないと、その後に出てくる「期待値」はおろか、「確率」を解くこともできません。
「場合の数」とは簡単にいえば、”数える”というだけの分野です。しかし、”数える”といっても数が膨大になったり、条件が複雑になったりすると１つ１つ数えるには
やや難が生じます。そこで組み合わせや順列、重複組み合わせ、円順列等など様々な分野が登場するわけです。「場合の数」において大雑把に言える
コツは次の事柄です。漏れなく重複なく数える。コレだけです。
ここではまず「場合の数」について妙な計算などは一切行わずに漏れなく重複なく数える
ことだけを意識して、１つ１つ数え上げてみたいと思います。
大小２つのサイコロを振ったとき、出る目の組み合わせは何通りか？
さて、答えは何通りになるでしょうか？難しい、だなんて言わせません。ここで行うことは「１つ１つ数え上げること」なんですから、やろうと思えば誰でも出来ることなんです。ということで、全通りのパターンを書き出してみましょう。結果は右図の通りになります。
この結果を見て分かるように、答えは36通りですね。場合の数の基本はこういった実際に数え上げることから始まるのです。逆にこの問題を間違えるとしたら、問題文を読み違えているか 数え上げで間違えたかどちらかでしょう。注意深く取り組んでみて下さい。
大きさ形などがまったく同じ２つのサイコロを振ったとき、出る目の組み合わせは何通りか？ただし２つのサイコロは区別しない。
この問題も先程と同様ですべて数え上げましょう。ただ先程の問題と条件が少しだけ異なるのです。一体何が違うのか、ということを意識して全パターンを書き出してみましょう。結果は右図の通りになります。この結果を見て分かるように、答えは21通りですね。さきほどの問題との大きな違いは「２つのサイコロは区別しない」ということです。
これによって何が変わるのか分かりにくいかもしれませんが、この条件によって(大,小)=(1,2),(2,1)というように区別していたものが１つとしてカウントされるのです。
このようにまずは１つ１つ丁寧に数えてみましょう。実際に書き出してみると意外にすんなりできるものです。ただ、問題文を読み違えて全然違うものを数えていた、なんてことはなんとしてでも避けて下さい。受験数学において全分野にありがちですが、 「違う問題を解く」ことは非常に危ないのでまずはきちんと問題文を理解しましょう。
※＜補足１＞ 通常、このような問題においては２つのサイコロを区別して行うので、２つ目の問題は非常に珍しい問題です。
※＜補足２＞ 上のような２題の問題を出すと２つのサイコロを振ったときピンゾロ(1,1)が出る確率は、「大小異なるサイコロのとき 1/36 」「同じサイコロのとき 1/21 」のように考える方がいますが、そんなわけありません。常識的に考えても 1/36 が答えです。 確率がサイコロの大きさで変わる、なんて日常的な経験でもありえませんよね？ここでは確率の説明を割愛するので、この理由については「確率」の単元で学んで下さい。
次あげる問題も数えるだけ、という話なのですが問題文をしっかり解釈出来ない人が続出する問題です。きちんと考えるようにして１つ１つのパターンを書き出して下さい。
袋の中に赤ボール３つ・青ボール２つ・緑ボール１つが入っている。 この中から無作為に２つのボールを取り出した時に、取りだす方法は全部で何通りか？
この問題はどうでしょうか？よく問題集などで見かける問題だと思われます。これも先程と同様に数え上げを行います。同時に２つのボールを取りだしたときにどんなパターンがあるか、実際に例を挙げて考えれば良いのです。
全てのパターンを数え上げると右図のようになります。大事なことですが問題文中に特に指示が無い場合はボールの１つ１つを区別して考えます。 これはもう、常識としか言いようがないのです。残念ですがそう認識して下さい。
つまり次のような考え方をしてはダメということです。
右図のように考えた人は答えは５通りになりますが・・・しかしこのような考え方は先程いったようにＮＧです。 ボールの１つ１つを区別していないのでダメなのです。
もし仮にこのような答えの出し方をすると、問題文が
袋の中に赤ボール１００個・青ボール５０個・緑ボール１つが入っている。 この中から無作為に２つのボールを取り出した時に、取りだす方法は全部で何通りか？
という問題だったとしても答えが同じで５通りになります。これはいくらなんでも考え方としておかしいな、という感じになりますよね。
よって今回の問題の答えは前の図の考え方が正しく１５通りが正解です。
※＜補足＞ もし仮に次のような問題だったとしても答えは同じで１５通りです。
袋の中に赤ボール６個が入っている。この中から無作為に２つのボールを取り出した時に、取りだす方法は全部で何通りか？
袋の中にボール６個が入っている。この中から無作為に２つのボールを取り出した時に、取りだす方法は全部で何通りか？
ボールの色の種類にはよらない、ということです。
袋の中に赤ボール３つ・青ボール２つ・緑ボール１つが入っている。 この中からＡさんが１つのボールを取り出したあとＢさんが１つのボールを取り出す時に、取りだす方法は全部で何通りか？
この問題はどうでしょうか？先程の問題の場合ですとボールを取り出すのは１人だったのに対して、今回はＡさん、Ｂさんという２人の人物が登場することです。
当然Ａさん、Ｂさんという２人の人物は区別して考えます。その場合どのように変わってくるか、意識して全パターンを書き出してみましょう。
全てのパターンを数え上げると右図のようになります。簡単に言えば、１人目に取りだしたボール、２人目に取りだしたボールをそれぞれ区別すれば良いのです。
つまり、先程は２つのボールを取りだした組み合わせを数えていたのに対して、今回は取りだす順番を含めて考えている、ということです。
なので答えは図より３０通りです。
問題文をしっかり解釈するだけ、でも結構苦戦した人はいたのではないでしょうか？
ここのページで行っていることは複雑なことは一切しておらず全てのパターンを書き出して数えるということしかしてないです。やろうと思えば誰でも出来ることなのですが、これが場合の数における一番の基礎です。
何らかな計算方法を知っている人は確かにすぐ求める事が出来るのですが、きちんと式をたてられていますでしょうか？まずは基礎となる考え方を押さえて下さい。