図形:正弦定理
正弦定理です.正弦とはサイン(sin)のことです.
つまり正弦定理とは要するに”sinについての定理”という意味です.正弦定理と余弦定理をごちゃ混ぜに覚えてしまう人が多いので
良く覚えておいて下さい.
正弦(sin)定理とはsinについての定理
余弦(cos)定理とはcosについての定理
となります.どちらも三角形についての定理ですが,sinかcosかという大きな違いがあります.
右図のように三角形ABCにおいて角A,B,Cと辺a,b,cを取れば正弦定理とは次のような公式になります.
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
上の注意はどちらも重要です.
特に2については正弦定理でなくても,三角形の図では 通常向かい合う角と辺とをペアとしてアルファベットの大文字・小文字で表現します. この機会に覚えておきましょう.
また正弦定理が覚えにくい場合,次のように覚えて下さい.
『三角形の向かい合う辺と角の比が外接円の半径の2倍(外接円の直径)』
このように覚えれば簡単なはずです.
a/sinA , b/sinB , c/sinC はいずれも三角形の向かい合う辺と角の比ですよね.
さらに記憶の定着化を図るため右図のように意識して下さい.
特にこの時,教え子に必ずやらせていることなのですが
『sinのコレ分のコレは外接円の直径』と
実際に指差し確認しながら口に出して公式を使って下さい.
今すぐ右図を見ながら『sinのコレ分のコレは外接円の直径』 と10回くらい唱えましょう.公式を使う時には毎回指差し確認すればまずミスはなくなる筈です.
また正弦定理の間違いとして多いのが
×:外接円の半径Rを内接円の半径rとしてしまう
×:a/sinAをsinA/aとしてしまう
×:a/sinAをa/cosAとしてしまう
などです.このようなミスをしたことがある人は上の指差し確認と声に出す癖を大事にして下さい.
右図においてAC,ABの長さは?
この問題の場合ですと有名角3つを持つ三角形ですので三角比・三角関数のページで 紹介されているものと同じ三角形です.なので特別計算をしなくても
AC = √3・R
AB = R
と分かるのですが,ここでは練習がてら正弦定理を使って解いてみましょう.
正弦定理より
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
よって
BC/sin90° = AC/sin60° = AB/sin30° = 2R
すなわち
AC = 2R・sin60° = √3・R
AB = 2R・sin30° = R
となります.