極限

　「極限とは何か？」という話から始めたいと思います。極限について、おおよそ分かっている人はこのページは読み飛ばして構いません。
極限のイメージを持って頂くために次のアキレスと亀というストーリーを読んで下さい。またストーリーの中に出てくるアキレスは伝説に残るような俊足の持ち主です。

　 アキレスと亀　 　アキレスは10(m/s)・亀は1(m/s)で移動することが出来る。今ここでアキレスと亀とが徒競争を行う。ただし亀はアキレスより100m前の地点をスタート地点（Ａ地点）とする。

　すると両者が同時にスタートした時、10秒でアキレスは亀が元々いたスタート地点（Ａ地点）にたどり着く事が出来る。しかし、この時亀はアキレスより前方10mの地点（Ｂ地点）にいることになる。

　さらにアキレスは1秒後に先程まで亀がいた位置（Ｂ地点）にたどり着く。しかし、この時亀はアキレスより前方1mの地点（Ｃ地点）にいることになる。

　以下同様に考えることで、アキレスが直前まで亀がいた地点にたどり着いた時には、亀はそれより僅かだけ前方に進んでいる。よってアキレスは絶対に亀には追いつけない。

この話は有名なパラドックスとしてよく引き合いに出されます。上のストーリーではアキレスは絶対に追いつけない、などという結論になっていますが常識的に考えて、こんなことありえませんよね？

　実際に何秒後にアキレスは亀に追いつくのか計算してみましょう。小学校の頃に習った「追いつき算」で求められます。

アキレスは10(m/s)・亀は1(m/s)で移動するため、毎秒両者の距離がどれだけの速度で縮まるのか考えると、9(m/s)で縮まっていきます。
よって 　　＜極限の画像が表示されていません！＞　　 となるため、アキレスは 　　＜極限の画像が表示されていません！＞　　 秒後に追いつくと分かります。


　きちんと求められましたね。当たり前ですが、アキレスはきちんと亀に追いついています。
それではなぜ、上の記述だけをみると永遠に追いつけないかのように思えるのでしょうか？ここで極限の考え方が生きてくるのです。

　まずは上の記述に従って、時系列に沿ってアキレスと亀の位置関係を書くと下図のようになります。
　　＜極限の画像が表示されていません！＞　　
時系列に沿ってアキレスが「亀が直前までにいた場所」にたどり着く場所の時間を見ると 10秒後 / 11秒後 / 11.1秒後 / 11.11秒後 ・・・であることが分かります。
時間間隔で言うと10秒間 / 1秒間 / 0.1秒間 / 0.01 秒間 ・・・　走るごとにたどり着くのです。つまりこれを延々と繰り返すことになる、ということです。
　　＜極限の画像が表示されていません！＞　　
延々と繰り返す、というと一見無限に遠いように感じますが、実はそうではありません。要するに上の足し算を行うと幾つになるのか？という話です。確かに足し続けることが必要なのですが、足す値自体は非常に小さな値になっていってますね？
この足し算を行うと実は 11.111111・・・ という値になるだけなのです。
　　＜極限の画像が表示されていません！＞　　
さらにこの値は実は先程で求めた 　　＜極限の画像が表示されていません！＞　　 となるため、アキレスは 確率：数式 の値に他ならないのです。
これは実際に100を9で割ってみて、少数第４位ぐらいまで計算してみれば分かることです。 11.111111・・・ に一致しましたね？


　このように一見無限に足し続けるような操作というのは無限に大きくなる、という先入観があるかもしれませんが、このような場合に限り数値がピタリと求まることがあるのです。
このような計算を極限といい、以降の章で詳しく説明することになります。