極大・極小

微分の更なる使い道

 微分によって得られる導関数は、もとの関数の接線の傾きを表すと説明しました。 ここで一つ考えてみてください。導関数が0になるような点というのは、 つまり接線の傾きが0である点ということになります。それは一体どういう点になるのでしょう？ 正解はいくつかありますが、たとえば以下のようなものが挙げられます。

 これを見ると、導関数が0になるような点というのは、もとの関数の最大値もしくは最小値を表している ように見えます。しかし、そうとは限りません。下の図を見てください。

 このことから、微分が0になる点はその周囲の点に比べれば大きい（小さい）値を取るが、最大（最小）になるとは 限らないということになります。（もちろん本当に最大（最小）になることもあります。） このように局所的に見ると最大（最小）になる点のことを極大点（極小点）と呼びます。 このように、微分をすることによって極大点・極小点を求めることができます。

 でもちょっと待ってください。導関数が0になれば、極大点か極小点になるといっても、 本当はどっちなのかというのはどうやって見分けるのでしょうか？また、もう一つ問題があります。 実は導関数が0になる場合というのはまだあって、例えば以下のような場合が考えられます。

 この場合は極大でも極小でもありません。以上をまとめると、導関数が0になる場合というのは

1. 極大点
2. 極小点
3. どちらでもない

という３パターンに分けられることになります。これらをどうやって見分ければいいのでしょうか？