三角関数

 今までcos,sinの定義は
　　 原点から出た(1,0)方向の矢印が、原点周りにθ回転した時のX座標をcosθ、Y座標をsinθ
だということを何度も言ってきました。
しかし、そろそろ気になってきた人もいることでしょう。あれ？tanは？？と。cos,sinの２つはお互いに兄弟のような関係で色々な面で相互関係があるのに対して tanはこれら２つとは別の位置づけになります。ここではtanの定義について学んでいきます。


　　＜三角関数の数の画像が表示されていません！＞　　  tanの定義ですが、まず直角三角形で考えた時のことを思い出しましょう。直角三角形での定義では右図で言うと
tanθ = c ÷ b
として計算していました。

つまりは直角三角形の
＜高さ＞÷＜底辺＞がtanθ
であったわけです。


　　＜三角関数の数の画像が表示されていません！＞　　  それでは単位円で考えた時のことを考えてみましょう。
先程述べたtanθ = c ÷ bは右図ではtanθ = sinθ ÷ cosθとなることが分かります。

そこで一般的にtanθをcosθ,sinθを用いて表した式として
　　＜三角関数の数の画像が表示されていません！＞　　
を定義として用います。

これを幾何的に考えるとどうなるでしょうか？
右図で原点から出た(1,0)方向の矢印に着目すると、
tanθとは cosθ 進むと sinθ 上がるような直線の傾き、すなわち
　　 原点から出た(1,0)方向の矢印が、原点周りにθ回転した時の矢印の傾きが tanθ
となります。



 よって今改めてcos,sin,tanの定義を書くと
　　 原点から出た(1,0)方向の矢印が、原点周りにθ回転した時
X座標をcosθ、Y座標をsinθ、矢印の傾きがtanθ
となります。

傾きである、ということを押さえた上で、確認のため次の問題に取り組んでみましょう。

　 練習問題：三角比　
　　　 cosθ = 3/5 , sinθ = 4/5 のとき tanθ の値はいくらか？

   tanθ = sinθ / cosθ = 4/3


　　　 cosθ = 5/13 , sinθ = 12/13 のとき tanθ の値はいくらか？

   tanθ = sinθ / cosθ = 12/5


　　　 cosθ = - 12/13 , sinθ = 5/13 のとき tanθ の値はいくらか？

   tanθ = sinθ / cosθ = - 5/12


　　＜三角関数の数の画像が表示されていません！＞　　 　　　 tan45° の値はいくらか？

   右図を参考に考えましょう。
   ようするにtan45°とは45°方向に進む直線の傾きです。
   これを踏まえていれば
    tan45° = 1
   だと分かります。
   ※　θ = 45°の時の値は有名なので覚えておきましょう。
    ”cos45° = √2/2”
    ”sin45° = √2/2”
    ”tan45° = 1”
    となります。



 cos,sin,tanのイメージを単位円で考えることができるようになりましたか？
原点から出た(1,0)方向の矢印が、原点周りにθ回転した時
X座標をcosθ、Y座標をsinθ、矢印の傾きがtanθ
これだけは絶対に覚えるようにしましょう。