二次関数
関数って何？
二次関数のお話をする前にちょっと考えてみて下さい。あなたは「関数とは何か」と言われて答えられるでしょうか。 教科書的に言えば「あるxに対してただ一つyの値が決まるとき、yはxの関数であるという。」が正解ですが、この言葉の意味を一度しっかり考えてみましょう。
ポイントは「ただ一つ」というところです。つまり、あるxに対してyが２つとか３つでてきてしまうようなものは関数とは言いません。身近なもので言えば円なんかがそうです。 それに対して、ここで扱う二次関数は、xが決まるとyがきっちり一つだけ決まるので、まさしくyはxの関数と言えます。まずはこの違いをしっかり押さえておきましょう。
二次関数の平行移動
さて、堅苦しい話はこれくらいにして、さっそくグラフの移動についての話をしましょう。グラフの移動の仕方にはいろいろありますが、 ここではまず平行移動について説明します。 平行移動には２種類あります。x軸方向の移動とy軸方向の移動です。まずは簡単なy軸方向の移動から見ていきましょう。
y軸方向にグラフが移動するってどういうことでしょう？たとえばy=2x2のグラフを上に３だけ移動したグラフを考えてみます。
これを見ると、移動した後のグラフは
全ての点においてyの値が３だけ大きくなっていることが分かります。ということは、もとの式に対して単純に３を足せばいいことが分かります。
つまり移動したあとのグラフを表わす式は
となるだけです。これ以上複雑に考える必要もありません。
ようするに、一般にy=ax2のグラフがy軸方向にグラフがpだけ移動するとき、移動した後のグラフは
と書ける、ということです。
それでは、問題のx軸方向の移動について説明していきましょう。こういう複雑なものはまず先に結果から見ていくのが良いでしょう。ということで、
例として以下にｙ＝２ｘ２をx軸方向に3だけ平行移動した式を示してみます。
なんとも奇妙な形をしています。何が奇妙って、今は正の方向に動かしたはずなのにマイナスがついているというのは初めて見た人にとってはなんとも理解しがたいところでしょう。
しかしこれは実は当然のことなのです。例えばｙが０になるときのｘの値について考えてみて下さい。ｙ＝２ｘ２の場合、ｙが０になるのは当然
ｘ＝０のときです。では、この関数のグラフをｘ軸方向に３だけ平行移動させてできる関数でｙが０になるのは、一体ｘがいくつのときでしょうか。これは図を見れば
一目瞭然でｘ＝３のときです。x軸方向に3だけ平行移動したのだから当たり前です。グラフがこうなっている以上、式の上でも同じくｘ＝３のときにｙが０になっていなければおかしいです。なので先ほど示した通りの式になるのです。
・・・いやいやいやいや、これで納得してしまってはいけません。今はあくまでｙが０になるときのxの値についてのみ議論をしただけであって、その他のｘとｙについては何も述べていないのです。 しかし、同じように考えれば、どの点で考えてもすぐに同じ結論に行き着きます。たとえばｘ＝１のときｙ＝２となるが、平行移動した後では、 同じくｙ＝２になるためにはｘ＝４となる必要があるでしょう。 つまり式の上でもｘ＝４のときにｙ＝２となっている必要があるので、やはりさっき得た結論と同じ式でよさそうです。少々ややこしいでしょうか？ 分からなければ、実際にグラフを書いてみるなどして確かめてみましょう。
ここまでの議論の結果を式にまとめると以下のようになります。